Question

（2011•西山区模拟）为调查某市学生百米运动成绩，从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

性别 是否 达标	男	女	合计
达标	a=24	b= 6	30
不达标	c= 8	d=12	20
合计	32	18	n=50

（Ⅰ） 设m，n表示样本中两个学生的百米测试成绩，已知mn∈[13，14）∪[17，18]求事件“|m-n|＞2”的概率；
（Ⅱ） 根据有关规定，成绩小于16秒为达标．
如果男女生使用相同的达标标准，则男女生达标情况如附表：
根据上表数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

P（K2≥K）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.625	10.828

Answer 1

分析：（I）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b．成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C；基本事件总数为10，事件“|m-n|＞2”由6个基本事件组成．根据古典概型公式可求出所求．
（Ⅱ）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，即可求得．

解答：解：（Ⅰ）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04=2人，设为a，b．
成绩在[17，18]的人数有：50×0.06=3人，
设为A，B，C．m，n∈[13，14）时有ab一种情况．
m，n∈[17，18]时有AB，AC，BC三种情况．
m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况．
基本事件总数为10，事件“|m-n|＞2”由6个基本事件组成．
所以P（|m-n|＞2）=

6

10

=

3

5

（13分）…（6分）
（Ⅱ）依据题意得相关的2×2列列联表联表如下：

性别 是否达标	男	女	合计
达标	a=24	b=6	30
不达标	c=8	d=12	20
合计	32	18	n=50

…（9分）
K2=

50×(24×12-6×8)2

32×18×30×20

≈8.333＞6.625，
故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”
故可以根据男女生性别划分达标的标准…（12分）

点评：本题主要考查了独立性检验的应用、频率分布直方图，以及古典概型的概率问题、用样本的数字特征估计总体的数字特征等有关知识，属于中档题．