Question

【题目】已知椭圆的离心率为分别为其左、右焦点，为椭圆上一点，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作关于轴对称的两条不同的直线，若直线交椭圆于一点，直线交椭圆于一点，证明：直线过定点.

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）根据椭圆的离心率为，及的周长为，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线方程为，联立方程组，利用二次方程根与系数的关系，求得，又由关于轴对称的两条不同直线的斜率只和为，化简、求得，得到直线方程，即可作出证明.

（1）根据椭圆的离心率为，及的周长为，

可得，解得，所以故椭圆的方程为.

（2）证明：设直线方程为.

联立方程组，整理得，

所以.

因为关于轴对称的两条不同直线的斜率只和为，

所以，即，

所以，

所以，所以.

所以直线方程为，所以直线过定点.