Question

如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点，
(Ⅰ)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；
(Ⅱ)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

Answer 1

(Ⅰ)解：如图，取CD的中点G，连接MG，NG， 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=， 因为平面ABCD⊥平面DCEF， 所以MC⊥平面DCEF， 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角， 因为MN=， 所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值．
(Ⅱ)证明：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN， 且平面MBEN与平面DCEF交于EN， 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF， 又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF， 而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB∥EN， 又AB∥CD∥EF， 所以EN∥EF， 这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立． 所以ME与BN不共面，它们是异面直线．