Question

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，且平面ABCD ⊥平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点。

（1）求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值；

（2）求异面直线ME与BN所成角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

试题分析：(1)如图，连接MD

∵平面ABCD ⊥平面DCEF  ①

ND⊥CD，ND平面DCEF   ②

CD=面ABCD面DCEF     ③

由①②③知ND⊥平面ABCD，

∴∠DMN即为MN 与面ABCD所成角，

设CD=a,则ND=,MN=，

∴.

(2)如图，在CD的延长线上取点G，使DG=DC,再以DG为公共边作正方形DGUA及DGVF,

H,K分别为GV,NH之中点，连接MK,EK.

∵NK∥CD,NK=CD,BM∥CD,BM=CD,

∴四边形BMKN为平行四边形,∴BN∥MK,

∴∠EMK即为异面直线BN与ME所成角,

设CD=a,则 ME=BN=,EK=,

由余弦定理得.

考点：本小题主要考查空间中线面角和二面角的求法.

点评：点评：立体几何问题，主要是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解决此类问题时，要紧扣相应的判定定理和性质定理，要将定理中要求的条件一一列举出来，缺一不可.