Question

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（1）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；

（2）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   见解析）

解析:

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2).                      

又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，

可得cos(,)=·                

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

cos·  ……7分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……9分

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB//EN。又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线. …13分