Question

已知二次函数f（x）满足f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（log_ax）（a＞0且a≠1），x∈[a，  

1

a

]，试求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意可设f（x）=ax²+bx+1，由f（x+1）-f（x）=2ax+a+b+2x可求a，b，进而可求f（x）
（2）由a＜

1

a

可求a的范围，由t=log_ax在[a，

1

a

]上单调性，可求t的范围，而由g（x）=f（log_ax）=（log_ax）²-log_ax可得y=t²-t+1，结合二次函数的性质可求函数的值域

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+1…（1分）
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a+b+2x
∴

2a=2 a+b=0

∴a=1，b=-1…（5分）
∴f（x）=x²-x+1…（6分）
（2）∵f（x）=x²-x+1
∴g（x）=f（log_ax）=（log_ax）²-log_ax+1，x∈[a，

1

a

]…（7分）
令t=log_ax，原函数化为y=t²-t+1，…（8分）
∵a≤x≤

1

a

又a＞0且a≠1
∴a＜

1

a

即0＜a＜1，…（9分）
∴t=log_ax在[a，

1

a

]上单减，
∴-1≤t≤1，…（10分）
又对称轴t=

1

2

∴t=

1

2

时，ymin=

3

4

，
∴t=-1时，y_max=3，
∴g（x）的值域为[

3

4

，3]．   …（12分）

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数解析式，对数函数的单调性的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解．