Question

3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为$\frac{7}{2}$平方米，则cos∠AOB=（　　）

• A． $\frac{1}{25}$
• B． $\frac{3}{25}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{7}{25}$

Answer 1

分析 由弧田面积求出矢=1，设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，列出方程组求出d=4，r=5，从而得到cos∠AOD=$\frac{d}{r}$=$\frac{4}{5}$，再由cos∠AOB=2cos²∠AOD-1，能求出结果．

解答 解：如图，由题意可得：AB=6，
弧田面积S=$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）=$\frac{1}{2}×$（6×矢+矢²）=$\frac{7}{2}$平方米．
解得矢=1，或矢=-7（舍），
设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{r-d=1}\\{{r}^{2}=9+{d}^{2}}\end{array}\right.$，解得d=4，r=5，
∴cos∠AOD=$\frac{d}{r}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠AOB=2cos²∠AOD-1=$\frac{32}{25}$-1=$\frac{7}{25}$．
故选：D．

点评 本题考查角的余弦值的求法，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、弧田面积计算公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．