题目内容
已知a＜0，则x0为函数f（x）=2ax-b的零点的充要条件是（ ）
| A、?x∈R，ax2-bx≥ax02-bx0 | B、?x∈R，ax2-bx≤ax02-bx0 | C、?x∈R，ax2-bx≥ax02-bx0 | D、?x∈R，ax2-bx≤ax02-bx0 |
分析：由题意可得函数对应的开口向下，并且当x=
时，y取得最大值-
．结合x0满足关于x的方程2ax=b与二次函数的性质可得：对于任意的x∈R，都有y=ax2-bx≤-
=ax02-bx0．
| b |
| 2a |
| b2 |
| 4a |
| b2 |
| 4a |
解答：解：由于a＜0，令函数y=ax2-bx=a(x-
)2-
，此时函数对应的开口向下，
当x=
时，y取得最大值-
．
因为x0为函数f（x）=2ax-b的零点，
所以x0满足关于x的方程2ax=b．
所以有x0=
时，ymax=ax02-bx0=-
，
那么对于任意的x∈R，都有y=ax2-bx≤-
=ax02-bx0．
故选D．
| b |
| 2a |
| b2 |
| 4a |
当x=
| b |
| 2a |
| b2 |
| 4a |
因为x0为函数f（x）=2ax-b的零点，
所以x0满足关于x的方程2ax=b．
所以有x0=
| b |
| 2a |
| b2 |
| 4a |
那么对于任意的x∈R，都有y=ax2-bx≤-
| b2 |
| 4a |
故选D．
点评：本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力．
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