Question

已知a＞0，函数f（x）=ax²+bx+c，若x₀满足关于x的方程2ax³+bx²+2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（　　）

A．?x∈R，f（x）≤f（x₀）

B．?x∈R，f（x）≥f（x₀）

C．?x∈R，f（x）≤f（x₀）

D．?x∈R，f（x）≥f（x₀）

Answer 1

分析：由x₀满足关于x的方程2ax³+bx²+2ax+b=0，得出x₀=-

b

2a

．由a＞0可知二次函数有最小值．

解答：解：∵x₀满足关于x的方程2ax³+bx²+2ax+b=0，
∴2ax₀³+bx₀²+2ax₀+b=0，
∴x02（2ax₀+b）+（2ax₀+b）=0，
∴（x02+1）（2ax₀+b）=0，
∴x₀=-

b

2a

．
∵a＞0，
∴函数f（x）=ax²+bx+c在x=x₀处取到最小值f（-

b

2a

）=f（x₀）
∴?x∈R，f（x）≥f（x₀），
所以命题C错误．
故选C．

点评：本题考查二次函数的最值问题，全称命题和特称命题真假的判断，注意对符号?和?的区分和理解．