Question

5．直线l不经过第四象限，它的倾斜角为$\frac{π}{6}$，原点到该直线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则直线l的方程是$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$．

Answer 1

分析 求出倾斜角是$\frac{π}{6}$的直线的斜率，设出直线方程，利用原点与直线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出直线方程中的未知数，即可确定直线方程．

解答 解：因直线斜率为tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可设直线方程y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，化为一般式$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-y+b=0，
由原点到该直线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$\frac{|b|}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b=±1，
∵直线l不经过第四象限，
∴b=1，
所以直线方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$．
故答案为：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$．

点评 本题考查点到直线的距离公式，考查计算能力，是基础题．