Question

12．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x
（1）若函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）若a＞0，讨论函数g（x）的单调性；
（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，求证：$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；
（3）利用斜率计算公式，令h（x）=x-x₁lnx+x₁lnx₁-x₁，及令m（x）=x-x₂lnx+x₂lnx₂-x₂，通过求导得到其单调性即可证明．

解答 解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax²-3x，则g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-3，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴可得，
g′（1）=1+2a-3=0，
∴a=1；
（2）g（x）=lnx+ax²-3x，则g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-3=$\frac{2a{x}^{2}-3x+1}{x}$，
设t（x）=2ax²-3x+1，△=9-8a，
①当0＜a＜$\frac{9}{8}$时，设t（x）=0的两根为x₁=$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4a}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4a}$，
由g′（x）＞0可得x＞x₂，或0＜x＜x₁；由g′（x）＜0可得x＞x₂，或＜x₁＜x＜x₂，
即g（x）的单调增区间为（0，$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4a}$），（$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4a}$，+∞）；
单调减区间为（$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4a}$，$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4a}$）；
②当a≥$\frac{9}{8}$时，2ax²-3x+1≥0恒成立，g′（x）≥0恒成立，
g（x）的单调增区间为（0，+∞）；
（3）证明：依题意得k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$?$\frac{1}{{x}_{2}}$＜$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}}$
?x₁lnx₂-x₁lnx₁＜x₂-x₁＜x₂lnx₂-x₂lnx₁，
令h（x）=x-x₁lnx+x₁lnx₁-x₁，则h′（x）=1-$\frac{{x}_{1}}{x}$，
当x＞x₁时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x₁，+∞）单调递增，
∴当x₂＞x₁时，h（x₂）＞h（x₁）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁＜x₂-x₁
令m（x）=x-x₂lnx+x₂lnx₂-x₂，则m′（x）=1-$\frac{{x}_{2}}{x}$，
当x＜x₂时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x₂）单调递减，
∴当x₁＜x₂时，m（x₁）＞h（x₂）=0，即x₂-x₁＜x₂lnx₂-x₂lnx₁；
所以命题得证．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数是解题的关键．