Question

双曲线

x2

n

-y²=1（n＞1）的两个焦点为F₁，F₂，P在双曲线上，且满足|PF₁|+|PF₂|=2

n+2

，则△PF₁F₂的面积为

 

．

Answer 1

分析：令|PF₁|=x，|PF₂|=y，根据题设条件和双曲线定义可得关于x和y的方程组，解x和y，进而可求得x²+y²，结果正好等于|F₁F₂|²，根据勾股定理可知△PF₁F₂为直角三角形，进而根据三角形面积公式求得答案．

解答：解：令|PF₁|=x，|PF₂|=y，
依题意可知

x+y=2 n+2 x-y=2 n

解得x=

n+2

+

n

，y=

n+2

-

n

，
∴x²+y²=（2

n+2

+

n

）²+（2

n+2

-

n

）²=4n+4
∵|F₁F₂|=2

n+1

∴|F₁F₂|²=4n+4
∴x²+y²|F₁F₂|²
∴△PF₁F₂为直角三角形
∴△PF₁F₂的面积为

1

2

xy=（2

n+2

+

n

）（

n+2

-

n

）=1
故答案为：1．

点评：本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用．