Question

已知有相同两焦点F₁、F₂的椭圆

x2

m

+y2=1(m＞1)和双曲线

x2

n

-y2=1(n＞0)，点P是它们的一个交点，则△F₁PF₂面积的大小是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得出三角形的面积．

解答：解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF₁|=s，|PF₂|=t．
由双曲线和椭圆的定义可得

s+t=2 m s-t=2 n

，
解得

s2+t2=2m+2n st=m-n

．
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=

s2+t2-4c2

2st

=

2m+2n-4(m-1)

2m-2n

∵m-1=n+1，
∴m-n=2，
∴cos∠F₁PF₂=0，∴∠F₁PF₂=90°．
∴△F₁PF₂面积为

1

2

st=1．
故选C．

点评：本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力．熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键．