Question

（09年东城区二模文）（14分）

如图，四棱锥的底面为正方形，底面，且，是中点．

（Ⅰ）证明：//平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

       

Answer 1

解析: （Ⅰ）

证明：连结交于点，连结．                

为中点，为中点，

∴//．                            …………………3分

平面，平面，                

∴ //平面．                                …………………6分

（Ⅱ）

解法1：取中点，过作于，连结、,   

为中点，∴ //，∴ 平面，

∴ 为在平面内的射影．            

又, ∴ ,                       

∴为二面角的平面角．        ………………10分

在Rt中，，

∴△∽△.

∴,设正方形边长为2,  ，∴ . …………12分

在Rt△中，，      

∴二面角的大小为．      …………14分

解法2：

(Ⅱ)如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系．                             ………………8分

由,设正方形边长为2, 则(0, 0, 0), (2, 0, 0),(2, 2, 0),

(0, 2, 0), (0, 0, 2), (0, 1, 1) ．        ……………10分

平面，∴是平面的法向量， =（0, 0, 2）．

设平面的法向量为, ,

则  即   解得   

 令,则.                …………..12分

 .           

∴二面角的大小为．        ………………14分