Question

如图4,已知四棱锥，底面是正方形，面，点是的中点，点是的中点,连接,.

(1) 求证：面；

（2）若,，求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）证法1：取的中点，连接，

      ∵点是的中点,

      ∴.    

      ∵点是的中点，底面是正方形，

      ∴.  

      ∴.

      ∴四边形是平行四边形.

      ∴.                 …

      ∵平面，平面，

      ∴面.              …………… 4分

证法2：连接并延长交的延长线于点，连接，

      ∵点是的中点，

      ∴, 

      ∴点是的中点.         

∵点是的中点,

      ∴.                                           

      ∵面，平面，

      ∴面.                                      

证法3： 取的中点，连接，

      ∵点是的中点，点是的中点,

      ∴，.                                

      ∵面，平面，

      ∴面.                                        

      ∵面，平面，

      ∴面.                                         

      ∵，平面，平面，

      ∴平面面.    

      ∵平面，

      ∴面.         

…（2）解法1：∵，面，

      ∴面.             

      ∵面，

      ∴.                                           …

      过作，垂足为，连接，

      ∵，面，面，

      ∴面.                                      

      ∵面，

      ∴.                                       

      ∴是二面角的平面角.                   

      在Rt△中，,，得，

                                                              

      在Rt△中，，得，

      .                                  

       在Rt△中，，        

      .                               

      ∴二面角的余弦值为.               

解法2：∵，面，

      ∴面.

在Rt△中，,，得，

…………… 5分

以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，                             

则.

∴，，.

设平面的法向量为，

由，，

得

令，得，.

∴是平面的一个法向量.             

又是平面的一个法向量，              

.                      

∴二面角的余弦值为.                    …