Question

若曲线f（x）=ax²+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

分析：先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于y轴的切线，得到此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数f′(x)=2ax+

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x

存在零点，再将之转化为g（x）=-2ax与h(x)=

1

x

存在交点，讨论a的正负进行判定即可．

解答：解：由题意该函数的定义域x＞0，由f′(x)=2ax+

1

x

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因为存在垂直于y轴的切线，
故此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数f′(x)=2ax+

1

x

存在零点．
再将之转化为g（x）=-2ax与h(x)=

1

x

存在交点．当a=0不符合题意，
当a＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，
当a＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a＜0．
故答案为：{a|a＜0}

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．