Question

（2012•威海一模）已知函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a+1）lnx．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，+∞）单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）若-1＜a＜3，证明：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1成立．

Answer 1

分析：（I）根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出切线的斜率，由导数的几何意义列出方程求出a的值；
（II）对导函数进行化简，再把条件转化为“f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立”，再由条件进一步转化二次函数恒成立问题，根据二次函数的性质求解；
（III）利用分析法找思路，根据斜率公式将结论转化为“函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞1”，再转化为“在任一点处的切线斜率k＞1”，即转化为x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，再把不等式化简后，构造函数转化为恒成立问题，再由条件和二次函数的性质求出函数的最小值，化简后根据a的范围判断符号即可．

解答：解：（I）由题意得，f′（x）=x-a+

a+1

x

，
∵在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，
∴在点（2，f（2））处的切线的斜率是

3

2

，即f′（2）=2-a+

a+1

2

=

3

2

，
解得a=2，
（II）由（I）知，f′（x）=x-a+

a+1

x

=

x2-ax+a+1

x

，且x＞0，
∵f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=

x2-ax+a+1

x

≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
即x²-ax+a+1≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=x²-ax+a+1，对称轴x=

a

2

，
则

a 2 ≤0 g(0)≥0

或

a 2 ＞0 g( a 2 )≥0

，解得-1≤a≤0或0＜a≤2+2

2

，
故a的取值范围是-1≤a≤2+2

2

，
（III）“

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1”的几何意义是函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞1，
即在任一点处的切线斜率k＞1，
即证当-1＜a＜3时，对x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，
∴f′（x）=

x2-ax+a+1

x

＞1，且x＞0，即x²-（a+1）x+a+1＞0在（0，+∞）恒成立，
设h（x）=x²-（a+1）x+a+1＞0，且对称轴x=

a+1

2

，
由-1＜a＜3得，0＜

a+1

2

＜2，
则h(x)min=h(

a+1

2

)=(

a+1

2

)2-(a+1)

a+1

2

+a+1=

-(a-3)(a+1)

4

，
由-1＜a＜3得，

-(a-3)(a+1)

4

＞0，
故结论得证．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，以及证明不等式转化为恒成立问题等，考查了转化思想和构造函数方法．