Question

20．若方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，0）
• C． （0，4）
• D． （0，1）∪（1，4）

Answer 1

分析 先画出函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=图象，利用方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有两个不同的实数根?函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象有两个交点，即可求出．

解答 解：y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1或x＜-1}\\{-x-1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
画出函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象，
由图象可以看出，y=kx-2图象恒过A（0，-2），B（1，2），AB的斜率为4，
①当0＜k＜1时，函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象有两个交点，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有两个不同的实数根；
②当k=1时，函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象有1个交点，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有1个不同的实数根；
③当1＜k＜4时，函数y=kx-2，y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象有两个交点，
即方程$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=kx-2有两个不同的实数根．
因此实数k的取值范围是0＜k＜1或1＜k＜4．
故选D．

点评 本题考查方程有两个实数解的条件，熟练掌握数形结合的思想方法及把问题等价转化是解题的关键．