Question

（2013•潍坊一模）已知数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成等差数列{b_n}，S_n是{b_n}的前n项和，且b₁=a₁=1，S₅=15．
（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a₉=16，求a₅₀的值；
（Ⅱ）设Tn=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

，求T_n．

Answer 1

分析：（ I ）依题意，可求得b_n=n，设从第三行起每行的公比都是q，（q＞0），由a₉=16可求得q，而a₅₀是数阵中第10行第5个数，利用等比数列的通项公式可求得其值；
（Ⅱ）由于S_n=

n(n+1)

2

，利用裂项法可知

1

Sn

=2（

1

n

-

1

n+1

），再用累加法即可求得T_n．

解答：解：（ I ）∵{b_n}为等差数列，设公差为d，b₁=1，S₅=15，
∴S₅=5+10d=15，d=1，
∴b_n=1+（n-1）×1=n…2分
设从第三行起每行的公比都是q，且q＞0，a₉=b₄q²=4q²=16，故q=2…4分
∴1+2+3+…+9=45，
故a₅₀是数阵中第10行第5个数，
而a₅₀=b₁₀q⁴=10×2⁴=160…7分
（Ⅱ）∵S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

…8分
∴T_n=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n(2n+1)

=2（

1

n+1

-

1

n+2

+

1

n+2

-

1

n+3

+…+

1

2n

-

1

2n+1

）
=2（

1

n+1

-

1

2n+1

）
=

2n

(n+1)(2n+1)

…12分

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查等差数列与等比数列的通项公式，考查裂项法与累加法求和，属于难题．