Question

已知f（n）=1．
经计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32），通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．
（1）试写出这个一般性的结论；
（2）请证明这个一般性的结论；
（3）对任一给定的正整数a，试问是否存在正整数m，使得1？若存在，请给出符合条件的正整数m的一个值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据f（2）=，f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32），通过观察，
我们可以得到一个一般性的结论 f（2ⁿ）≥，（当且仅当n=1时取等号）．…（4分）
（2）证明：（数学归纳法）
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时成立，即 ≥1+，…（2分）
当n=k+1时，左边=≥1++
≥1++=1+=右边．
即当n=k+1时，f（2ⁿ）≥1+ 也成立．…（3分）
由①②知，f（2ⁿ）≥1+ 成立． …（1分）
（3）由（2）可得，存在m满足条件．…（1分）
令 a=1+，只要 ≥ 即可，即≥=，即 m≥，
可取 m=2^2a．…（3分）
分析：（1）根据条件通过观察，可以得到一个一般性的结论 f（2ⁿ）≥，（当且仅当n=1时取等号）．
（2）用数学归纳法证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时成立，证明当n=k+1时，等式也成立．
（3）由（2）可得，存在m满足条件，a=1+，只要 ≥ 即可，从而得到m的取值范围，借口求得m的值
点评：本题主要考查的知识点是归纳推理，由特殊的列子得到一般性的结论，用数学归纳法证明不等式，属于难题．