Question

（本小题满分12分）如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.
 
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.

Answer 1

(I) .(II) 时，取得最大值.

解析试题分析：（1）根据已知中的离心率和矩形的面积得到a,b,c的方程，进而求解椭圆方程。
（2）将已知中的直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得到根与系数的关系，那么得到弦长公式，同时以及得到点S,T的坐标，进而得到比值。
(I)……①
矩形ABCD面积为8，即……②
由①②解得：， ∴椭圆M的标准方程是.
(II)，
设，则，
当  .
当时，有，
，
其中，由此知当，即时，取得最大值.
考点：本试题主要考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运用。
点评：解决该试题的关键是运用代数的方法来解决解析几何问题时，解析几何的本质。能结合椭圆的性质得到其方程，并联立方程组，结合韦达定理和判别式的到比值。