Question

2．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）cosx+2cos²x+a-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式与和差公式可得：函数f（x）=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$+a．可得f（x）的最小正周期T．
（II）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，可得$-\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，可得$sin（2x+\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$．进而得出答案．

解答 解：（I）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）cosx+2cos²x+a-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a
=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$+a．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（II）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴$-\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，∴$sin（2x+\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$．
∴f（x）∈[a-1，a+2]．
∴a-1+a+2=2，解得a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了倍角公式与和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．