Question

3．已知函数f（x）=ax²+（x-1）e^x
（1）当a=-$\frac{e+1}{2}$时，求f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程
（2）讨论f（x）的单调性
（3）当-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$＜0时，f（x）是否存极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-$\frac{e+1}{2}$时，f′（x）=-（e+1）x+xe^x，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程．
（2）由f′（x）=2ax+xe^x=x（e^x+2a），根据a≥0，-$\frac{1}{2}$＜a＜0，a=-$\frac{1}{2}$，a＜-$\frac{1}{2}$，分类讨论，结合导数性质讨论f（x）的单调性．
（3）x₁=ln（-2a）为极大值点，x₂=0为极小值点，所有极值的和即为f（x₁）+f（x₂，由此能求出所有极值的和的取值范围．

解答 （本题满分12分）
解：（1）当a=-$\frac{e+1}{2}$时，f（x）=-$\frac{e+1}{2}$x²+（x-1）e^x，∴f（1）=-$\frac{e+1}{2}$
f′（x）=-（e+1）x+xe^x∴f′（1）=-1
切线方程为：y+$\frac{e+1}{2}$=-（x-1）即：2x+2y+e-1=0
（2）f′（x）=2ax+xe^x=x（e^x+2a）
①当2a≥0即a≥0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
②当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-2a））上单调递增，
在（ln（-2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
③当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
④当a＜-$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，0））上单调递增，在（0，ln（-2a））上单调递减，
在（ln（-2a），+∞）上单调递增；
（3）由（2）知，当-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$＜0时，f（x）在（-∞，ln（-2a））上单调递增，
在（ln（-2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴x₁=ln（-2a）为极大值点，x₂=0为极小值点，所有极值的和即为f（x₁）+f（x₂），
f（x₁）+f（x₂）=ax₁²+（x₁-1）${e}^{{x}_{1}}$-1，
∵x₁=ln（-2a）∴a=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$，
∴f（x₁）+f（x₂）=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$x₁²+（x₁-1）${e}^{{x}_{1}}$-1=${e}^{{x}_{1}}$（-$\frac{1}{2}$x₁²+x₁-1）-1
∵-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$∴$\frac{1}{e}$＜-2a＜1∴-1＜x₁=ln（-2a）＜0
令ϕ（x）=e^x （-$\frac{1}{2}$x²+x-1）-1（-1＜x＜0）
∴ϕ′（x）=e^x （-$\frac{1}{2}$x²）＜0∴ϕ（x）在（-1，0）单调递减，
∴ϕ（0）＜ϕ（x）＜ϕ（-1）
即-2＜ϕ（x）＜-$\frac{5}{2e}$-1．
∴所有极值的和的取值范围为（-2，-$\frac{5}{2e}$-1）．

点评 本题考查切线方程的求法，考查函数的单调性的讨论，考查所有极值的取值范围的求法，考查分类讨论思想、等价转化思想，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．