Question

已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在x∈（-1，1]时，f（x）=2^x-2^-x，设a=f（

2

），b=f（2），c=f（3），则（　　）

A．c＜a＜b

B．b＜c＜a

C．c＜b＜a

D．a＜b＜c

Answer 1

分析：易证函数的周期为2，进而可得a=f（

2

）=f（

2

-2），b=f（2）=f（0），c=f（3）=f（1），再由函数在x∈（-1，1]的单调性，可得大小关系．

解答：解：由题意可得f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），
可得函数f（x）为周期函数，其函数的周期为T=2，
故a=f（

2

）=f（

2

-2），b=f（2）=f（0），c=f（3）=f（1），
因为在x∈（-1，1]时，f（x）=2^x-2^-x为增函数，
又-1＜

2

-2＜0＜1，故a＜b＜c，
故选D

点评：本题考查函数的周期性和函数的单调性，属中档题．