Question

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F₁F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．
（1）若过A．Q．F₂三点的圆恰好与直线l：x-y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由知：F₁为F₂Q中点．由，知F₁为△AQF₂的外接圆圆心，由此能求出椭圆方程．
（2）①由F₂（1，0），知y=k（x-1），，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根与系数的关系知为定值．
②由y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），知=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），由于菱形对角线垂直，则，故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，由此知存在满足题意的点P且的取值范围是．
解答：解：（1）由知：F₁为F₂Q中点．
又∵，
∴|F₁Q|=|F₁A|=|F₁F₂|，即F₁为△AQF₂的外接圆圆心
而|F₁A|=a，|F₁F₂|=2c，∴a=2c，又圆心为（-c，0），半径r=a，
∴，解得a=2，
∴所求椭圆方程为．（5分）
（2）①由（1）知F₂（1，0），y=k（x-1），
，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，，
又∵|F₂M|=a-ex₁，|F₂N|=a-ex₂，
∴=，
，
∴为定值．（10分）
②由上可知：y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），
=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
由于菱形对角线垂直，则，
故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
+，由已知条件知k≠0且k∈R，
，∴，
故存在满足题意的点P且的取值范围是．（15分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．