题目内容

设椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左焦点为F₁=（- $数学公式$ ，0），椭圆过点P（- $数学公式$ ， $数学公式$ ）
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点D（l，0），直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，以DA和DB为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围．

解：（1）由题意知c= $\text{[math]}$ ，b²=a²-3，由 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1得2a⁴-11a²+12=0，
所以（a²-4）（2a²-3）=0，得a²=4或a²= $\text{[math]}$ ＜c²（舍去），
因此椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ +y²=1．（4分）
（2）由 $\text{[math]}$ 得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
所以4k²+1＞0，△═64k²m²-16（4k²+1）（m²-1）=64k²-16m+16＞0，
得4k²+1＞m²．①（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，
于是x₀= $\text{[math]}$ ，y₀=k• $\text{[math]}$ +m= $\text{[math]}$ ，
∴M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
设菱形一条对角线的方程为y=- $\text{[math]}$ （x-1），则有x=-ky+1．
将点M的坐标代入，得- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1，所以m=- $\text{[math]}$ ．②（9分）
将②代入①，得4k²+1＞ $\text{[math]}$ ，
所以9k²＞4k²+1，解得k∈（-∽， $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，+∞）．（12分）
分析：（1）由题意知c= $\text{[math]}$ ，b²=a²-3，由 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1得2a⁴-11a²+12=0，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由 $\text{[math]}$ 得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0．由△=64k²m²-16（4k²+1）（m²-1）=64k²-16m+16＞0，得4k²+1＞m²．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），由韦达定理知x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，于是x₀= $\text{[math]}$ ，y₀=k• $\text{[math]}$ +m= $\text{[math]}$ ，M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．由此入手，能够求出k的取值范围．
点评：本题考查椭圆方程的求法和求k的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．本题主要考查运算能力，比较繁琐，解题时要格外细心，避免出错．