Question

（本题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点．

（1）若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围;

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且∠为锐角（其中 为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

（3）设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于两点．求四边形面积的最大值

Answer 1

（1），（2）或（3）．

【解析】

试题分析：与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的思路有两种：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量，不等式的应用．

试题解析：易知

所以，设，则

故． 2分

（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得： 3分

∴

由得： 5分

又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0 ∴

又

∵，即 ∴

故由①、②得或 7分

（3）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

． 9分

又，所以四边形的面积为

=， 11分

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分

解法二：由题设，，．

设，，由①得，， 9分

故四边形的面积为

， 11分

当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分

考点：圆锥曲线相关的最值、范围问题综合．