Question

若P是双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)和圆C₂：x²+y²=a²+b²的一个交点，且∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，其中F₁、F₂是双曲线C₁的两个焦点，则双曲线C₁的离心率的为

 

．

Answer 1

分析：a²+b²=c²，知圆C₂必过双曲线C₁的两个焦点，∠F1PF2=

π

2

，2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=

π

3

，则|PF₂|=c，|PF1| =

3

c，由此能求出双曲线的离心率．

解答：解：∵a²+b²=c²，
∴圆C₂必过双曲线C₁的两个焦点，∠F1PF2=

π

2

，
2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=

π

3

，则|PF₂|=c，|PF1| =

3

c，
故双曲线的离心率为

2c

3 c-c

=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．