Question

已知中心在坐标原点，坐标轴为对称轴的椭圆C和等轴双曲线C₁，点(

5

，-1)在曲线C₁上，椭圆C的焦点是双曲线C₁的顶点，且椭圆C与y轴正半轴的交点M到直线x-

3

y-2=0的距离为4．
（Ⅰ）求双曲线C₁和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆C相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的两动点，若直线AB的斜率为

1

2

，求四边形APBQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等轴双曲线C₁的方程，利用C₁过(

5

，-1)点，即可求得等轴双曲线C₁的方程；根据双曲线的顶点即椭圆的焦点坐标，可设椭圆的方程，利用M到直线x-

3

y-2=0的距离为4，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程代入椭圆方程并化简，可得一元二次方程，进而可表示四边形APBQ的面积，从而可求四边形APBQ面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）设等轴双曲线C₁的方程为x²-y²=λ（λ≠0）
因C₁过(

5

，-1)点，所以(

5

)2-1=λ，解得λ=4
所以等轴双曲线C₁的方程为x²-y²=4…（3分）
因为双曲线的顶点即椭圆的焦点坐标为（-2，0），（2，0）
所以可设椭圆的方程为

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，且M（0，b）
因为M（0，b）到直线x-

3

y-2=0的距离为4，所以

|- 3 b-2|

12+3

=4
∴b=2

3

∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1…（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=

1

2

x+t
把y=

1

2

x+t代入

x2

16

+

y2

12

=1并化简得x²+tx+t²-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4，
由韦达定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12…（9分）
又直线x=2与椭圆C相交于P、Q两点，所以|PQ|=6
所以四边形APBQ的面积S=

1

2

×6×|x1-x2|=3

48-3t2

则当t=0，面积的最大值为12

3

，即Smax=12

3

…（12分）

点评：本题考查双曲线、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，正确表示四边形的面积是关键．