Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若DP⊥AB，求二面角D-CP-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）点P为AB的中点时，连接AC₁，因为在△ABC₁中DP是三角形的中位线，DP∥AC₁．然后证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若DP⊥AB，作DO⊥BC于O，连接OP，则OP⊥AB，
连接CP，作OE⊥CP于E，所以所求二面角就是∠DEO；
求出OE，DE即可求二面角D-CP-B的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）当点P为AB的中点时，连接AC₁，
因为在△ABC₁中DP是三角形的中位线，DP∥AC₁．
AC₁?平面ACC₁A₁；
DP不在平面ACC₁A₁；
所以DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若DP⊥AB，作DO⊥BC于O，连接OP，则OP⊥AB，
连接CP，作OE⊥CP于E，所以所求二面角就是∠DEO；
因为几何体是正三棱柱，所以底面是正三角形，所以BP==，
OP==，CP==，
，OE==，
DE==，
所以二面角D-CP-B的余弦值为：=．
点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力．