Question

已知正项数列中，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求证：；
（3）设为实数，对任意满足成等差数列的三个不等正整数 ，不等式都成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）.

试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、恒成立问题、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，法一，利用转化已知表达式中的，证明数列为等差数列，通过，再求；法二，利用转化，证明数列为等差数列，直接得到的通项公式；第二问，结合第一问的结论，利用错位相减法证明不等式的右侧，而，利用放缩法，得，从而证明了不等式的左边，即得证；第三问，利用等差中项的概念得到m，n，k的关系，先将不等式都成立转化为，则关键是求出的最小值，利用基本不等式求函数最值.
（1）法一：由得
当时，，且，故        １分
当时，，故，得，
∵正项数列，
∴
∴是首项为，公差为的等差数列.            ４分
∴  ，
∴  .                     5分
法二：
当时，，且，故            1分
由得，
当时，
∴ ，整理得 
∵正项数列，，
∴ ，                        4分
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴  .                            5分
（2） 
∴
∴
∴两式相减得
 
                       8分
∵ ，∴
∵  ∴
∴                            10分
（3）∵不等正整数是等差数列，
∴，
∴，             11分
又，
∴ 
故实数的取值范围为.                    14分