题目内容
已知等差数列{an}的公差大于0，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=
（n∈N*）．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn=an•bn，设数列{cn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．
【答案】分析：（1）利用根与系数之间的关系先求出a2，a5的值，然后联立方程求公差和首项，求出数列{an}的通项公式，利用bn与Sn的关系求{bn}的通项公式．
（2）先求出cn=an•bn的通项公式，利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和为Tn，然后证明不等式．
解答：解：（1）因为a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根且等差数列{an}的公差大于0，
所以解得a2=3，a5=9，所以公差
，所以an=a2+（n-2）d=2n-1．
当n=1时，
，解得
，
当n≥2时，
，
所以
，所以数列{bn}是以b1为首项，公比
的等比数列，
所以
．
（2）由（1）知，
，则数列{cn}的前n项和为Tn，
则
①
②
①-②得
=
，
整理得
，因为n∈N•，所以
，
故
．
点评：本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列前n项和问题，要求熟练掌握错位相减法．
（2）先求出cn=an•bn的通项公式，利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和为Tn，然后证明不等式．
解答：解：（1）因为a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根且等差数列{an}的公差大于0，
所以解得a2=3，a5=9，所以公差
，所以an=a2+（n-2）d=2n-1．当n=1时，
，解得
，当n≥2时，
，所以
，所以数列{bn}是以b1为首项，公比
的等比数列，所以
．（2）由（1）知，
，则数列{cn}的前n项和为Tn，则
①
②①-②得
=
，整理得
，因为n∈N•，所以
，故
．点评：本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列前n项和问题，要求熟练掌握错位相减法．
练习册系列答案
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已知等差数列{an}中，a4a6=-4，a2+a8=0，n∈N*．