Question

直线坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为

x=-2+ 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．
（Ⅰ）求点T的极坐标；
（Ⅱ）过点T作直线l₁，若l₁被曲线C截得的线段长为2，求直线l₁的极坐标方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程，将

x=-2+ 3 2 t y= 1 2 t

解方程可得t值，可得直角坐标，化为极坐标即可；
（Ⅱ）由题意可知直线l₁与x轴不垂直，设l₁的方程为y-

3

=k（x-1），化为一般式由直线与圆的位置关系可得

| 3 +k|

k2+1

=

3

，解k可得方程．

解答：解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，∴直角坐标方程为：x²-4x+y²=0．
将

x=-2+ 3 2 t y= 1 2 t

代入可得(-2+

3

2

t)2-4（-2+

3

2

t）+(

1

2

t)2=0
整理可得t2-4

3

t+12=0，解得t=2

3

，
∴x=-2+

3

2

t=1，y=

1

2

t=

3

∴点T的坐标为（1，

3

），故极坐标为（2，

π

3

）
（Ⅱ）由题意可知直线l₁与x轴不垂直，
设l₁的方程为y-

3

=k（x-1），即kx-y+

3

-k=0
由（Ⅰ）得曲线C是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，
∵直线l₁被曲线C截得的线段长为2，
∴圆心到直线的求直线l₁的距离为

3

，
∴

| 3 +k|

k2+1

=

3

，解得k=0或k=

3

，
∴直线l₁的直角坐标方程为y=

3

或y=

3

x，
∴其极坐标方为ρsinθ=

3

或θ=

π

3

（ρ∈R）

点评：本题考查直线的参数方程，涉及简单曲线的极坐标方程以及与直角坐标方程的互化，属基础题．