Question

设函数f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

，x∈[0，

π

2

]的最大值是1，试确定a的值．

Answer 1

分析：利用平方关系化简函数f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

为：-（cosx-

a

2

）²+

1

8

（2a²+5a-4）；然后比较

a

2

与cosx的大小，即对a讨论：0≤a≤2，a＞2，a＜0，分别利用函数的最大值为1，求出符合题意的a的值即可．

解答：解：．f（x）=1-cos²x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-（cosx-

a

2

）²+

1

8

（2a²+5a-4），
x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]
（1）若0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2，
当cosx=

a

2

时，f（x）最大．此时

1

8

（2a²+5a-4）=1
解得a=

3

2

（2））若

a

2

＞1，即a＞2，当x=0时，即cosx=1时，f（x）最大．
此时-（1-

a

2

）²

1

8

（2a²+5a-4）=1
a=

20

13

（不符和条件）
（3）若

a

2

＜0，即a＜0，a=-4（舍）或a=

3

2

，
当x=

π

2

时，f（x）最大．此时-（0-

a

2

）²+

1

8

（2a²+5a-4）=1
a=

12

5

（不符和条件）
综上可得：a=

3

2

点评：本题考查三角函数的最值，考查分类讨论思想，0≤a≤2，a＞2，a＜0是怎么得到的（比较

a

2

与cosx的大小），是解题的关键．本题是中档题．