Question

设函数f（x）=ax²+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性。

Answer 1

解：（Ⅰ）因，
又f（x）在x=0处取得极限值，故f′（x）=0，从而b=0，
由曲线y= f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0相互垂直，
可知该切线斜率为2，
即f′（1）=2，有2a=2，从而a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
令，
（1）当△=4-4k＜0，即当k＞1时，g′（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数；
（2）当△=4-4k =0，即当k=1时，，
k=1时，g（x）在R上为增函数；
（3）△=4-4k＞0，即当0＜k＜1时，方程有两个不相等实根
，
当x∈时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数；
当x∈时，g′（x）＜0，故g（x）在上为减函数；
x∈时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数。