题目内容

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m=（1，1- $数学公式$ sinA），n=（cosA，1），且m⊥n．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若b+c= $数学公式$ a，求sin（B+ $数学公式$ ）的值．

解：（1）由题意知， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，即cosA+1- $\text{[math]}$ sinA=0．（2分）
∴ $\text{[math]}$ sinA-cosA=1，即sin（A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．（5分）
∵0＜A＜π，∴- $\text{[math]}$ ＜A- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，∴A- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即A= $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）∵b+c= $\text{[math]}$ a，由正弦定理得，sinB+sinC= $\text{[math]}$ sinA= $\text{[math]}$ ．（8分）
∵B+C= $\text{[math]}$ ，∴sinB+sin（ $\text{[math]}$ -B）= $\text{[math]}$ ．化简得 $\text{[math]}$ sinB+ $\text{[math]}$ cosB= $\text{[math]}$ ，
即sin（B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）根据向量垂直的坐标表示列出方程，利用两角和差的正弦公式进行化简，再由三角形内角的范围求出角A；
（2）根据正弦定理将式子转化为角的正弦，再由内角和定理表示出角C，根据两角和差的正弦公式进行化简求值．
点评：本题是有关三角的综合题，常与向量进行结合，主要利用三角恒等变换的公式和正弦（余弦）定理进行化简，注意利用内角和定理，是高考必考的题型之一．