Question

直线y=k（x-a）（a＞0）与抛物线y²=2px相交于A、B两点，F（a，0）为焦点，若点P的坐标为（-a，0），则（　　）

A．∠APF＜∠BPF

B．∠APF＞∠BPF

C．∠APF=∠BPF

D．以上均有可能

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，tan∠APF=kAP=

y1

x1+a

，tan∠BPF=-kBP=-

y2

x2+a

，联立直线方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，通过作差由韦达定理可得tan∠APF-tan∠BPF=0，从而tan∠APF=tan∠BPF，再由两角的范围可得∠APF=∠BPF．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，
由

y=k(x-a) y2=2px

得k²x²-（2ak²+2p）x+k²a²=0（k≠0），
则 x1+x2=

2ak2+2p

k2

，x1x2=a2，
tan∠APF=kAP=

y1

x1+a

，tan∠BPF=-kBP=-

y2

x2+a

，
 因为tan∠APF-tan∠BPF=

y1

x1+a

+

y2

x2+a

=

k(x1-a)

x1+a

+

k(x2-a)

x2+a

=

k(x1-a)(x2+a)+k(x2-a)(x1+a)

(x1+a)(x2+a)

=

k(2x1x2-2a2)

(x1+a)(x +a)

=

k(2a2-2a2)

(x1+a)(x2+a)

=0，
所以tan∠APF=tan∠BPF，
又∠APF与∠BPF均为锐角，
所以∠APF=∠BPF，
故选C．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，解决本题的关键是建立两角正切值与直线斜率的关系，通过作差可利用韦达定理解决问题．