Question

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ） 若a=2，求f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当常数a≠0时，设g（x）=，求g（x）在上的最值．

Answer 1

解：（Ⅰ） 当a=2时，f（x）=x+2sinx所以f'（x）=1+2cosx…．…．（1分）
当f'（x）＜0时，…．…．（2分）
所以 f（x）在[0，π]上的单调递减区间为…．…．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
∴f'（x）=1+acosx≥0对x∈（-∞，+∞）恒立． …（5分）
法一：令t=cosx，则1+at≥0对t∈[-1，1]恒成立，…（7分）
∴，解得-1≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[-1，1]． …（9分）
法二：当cosx＞0时，，即，所以a≥-1…（6分）
当cosx＜0时，，即，所以a≤1…（7分）
当cosx=0时，f（x）=1≥0恒成立，所以a∈R…（8分）
综上所述，实数a的取值范围是[-1，1]． …（9分）
（Ⅲ）g（x）=，∴g′（x）=，…（10分）
记h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），
则h′（x）=-xsinx＜0对x∈（0，π）恒成立，…（11分）
∴h（x）在x∈（0，π）上是减函数，
∴h（x）＜h（0），即g′（x）＜0，…（12分）
①当a＞0时，g（x）=在（0，π）上是减函数，
得g（x）在上为减函数．
∴当x=时，g（x）取得最大值1+；当x=时，
g（x）取得最小值1+．…（13分）
②当a＜0时，g（x）=在（0，π）上是增函数，
得g（x）在上为增函数．
∴当x=时，g（x）取得最大值1+；
当x=时，g（x）取得最小值1+．…（14分）
分析：（Ⅰ）把a=2代入f（x），然后对f（x）进行求导，可以令f′（x）＜0，解出x的范围即可；
（Ⅱ）根据f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，结合导数得到f'（x）=1+acosx≥0对x∈（-∞，+∞）恒立．
法一：利用换元法，令t=cosx，则1+at≥0对t∈[-1，1]恒成立，利用一次函数的性质得出关于a的不等关系即可求出实数a的取值范围；
法二：分类讨论法，对cosx的正负进行分类讨论：当cosx＞0时，，即；当cosx＜0时，，即；当cosx=0时，f（x）=1≥0恒成立，综上所述，可得实数a的取值范围．
（Ⅲ）常数a≠0时，设g（x）=，利用求导法则，对g（x）进行求导，求出x在[0，π]上的极值点，利用导数研究其最值问题．
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，解题的关键是能够对g（x）进行正确求导，此题是一道中档题．