Question

（2012•河南模拟）定义在R上的函数y=f（x）满足f(

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+x)=f(

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-x)，(x-

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)f′(x)＞0，任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：由题意可得y=f（x）的图象关于直线x=

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对称，在（

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，+∞）上是增函数，在（-∞，

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）上是减函数．
根据任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），可得 x₁+x₂＜5． 由x₁+x₂＜5可得x₂ -

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2

＜

5

2

-x₁，即x₁离对称轴较远，
故f（x₁）＞f（x₂），由此得出结论．

解答：解：∵f(

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+x)=f(

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-x)，∴f（x）=f（5-x），即函数y=f（x）的图象关于直线x=

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2

对称．
又因(x-

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)f′(x)＞0，故函数y=f（x）在（

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，+∞）上是增函数．
再由对称性可得，函数y=f（x）在（-∞，

5

2

）上是减函数．
∵任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），故x₁和x₂在区间（-∞，

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2

）上，∴x₁+x₂＜5．
反之，若 x₁+x₂＜5，则有x₂ -

5

2

＜

5

2

-x₁，故x₁离对称轴较远，x₂ 离对称轴较近，
由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x₁）＞f（x₂）．
综上可得，“任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充要条件，
故选C．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的图象的对称性的应用，充分条件、必要条件、充要条件的定义，
属于中档题．