Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在斜率为的直线与椭圆相交于两点，使得 是椭圆的左焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 不存在斜率为﹣1直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|=|F1N|

【解析】试题分析：（1）由椭圆的右焦点为，点在椭圆上，列出方程组求出， ，由此能求出椭圆的标准方程；（2）假设存在斜率为直线： 与椭圆相交于， 两点，使得，联立方程组，由此利用根的判别式、韦达定理、两点间距离公式、直线斜率公式，结合已知条件推导出不存在斜率为直线与椭圆相交于， 两点，使得.

试题解析：（1）∵椭圆： 的右焦点为，点在椭圆上，∴，解得，∴椭圆的标准方程为．

（2）不存在斜率为直线与椭圆相交于， 两点，使得，理由如下：假设存在斜率为直线： 与椭圆相交于， 两点，使得，联立，消除，得： ， ，解得，（*）， ， ，∵， ， ， ，∴，整理，得，∴，∴直线的斜率： ，解得，不满足（*）式，∴不存在斜率为直线与椭圆相交于， 两点，使得．