Question

【题目】若函数，.

（Ⅰ）求的单调区间和极值；

（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求单调区间和极值，先求定义域，再求导数，在上，的解为，探讨在和上的正负，确定的单调性，极值；（Ⅱ）首先由零点存在，知最小值，从而，因此在是单调递减，且，因此结论易证．

试题解析：（Ⅰ）由，得

.

由解得.与在区间上的情况如下：

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；

在处取得极小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.

因为存在零点，所以，从而.

当时，在区间上单调递减，且，

所以是在区间上的唯一零点.

当时，在区间上单调递减，且，，

所以在区间上仅有一个零点.

综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.