Question

已知正方体ABCD、EFGH的棱长为1，现从8个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示取出的三角形的面积．
（I）求概率P(X=

1

2

)；
（II）求X的分布形列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有

C

3 8

种取法，然后借助于正方体找出面积分别为

1

2

的三角形的个数，利用等可能事件的概率公式即可求解
（II）先判断出由正方体的顶点组成的三角形的面积的可能值即X可能取值，求出其概率，即可求解分布列和期望

解答：解：（I）从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有

C

3 8

种取法
其中X=

1

2

的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个
∴P（X=

1

2

）=

24

C 3 8

=

3

7

（II）由（I）知，形如△BEG的三角形有8个，其面积为

3

2

形如△ABC的三角形有4×6=24个，这些三角形的面积都是

1

2

形如△ABG的三角形有4×6=24个，这些三角形的面积都是

2

2

而X可能取值有

1

2

，

2

2

，

3

2

P（X=

3

2

）=

8

C 3 8

=

1

7

P（X=

2

2

）=

24

56

=

3

7

∴随机变量X的分布列为

EX=

1

2

×

3

7

+

2

2

×

3

7

+

3

2

×

1

7

=

3+3 2 + 3

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点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望的求解，解题的关键是准确求出各种情况下的概率