Question

（本小题满分14分）设函数.

（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；

（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由；

②证明：不等式.

 

Answer 1

（1）最大值为；（2）①存在，的取值范围是；②祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知得：，且函数f（x）在x=0处有极值，得a=1，从而求出函数的表达式，找出单调区间求出最值；

（2）由已知得：再对b分情况讨论：①若b≥1，②若b≤0，③若0＜b＜1综合得出b的取值范围是x∈[1，+∞）；

（3）由前两问综合得出．

试题解析：（1）由已知得：，且函数在处有极值

∴，即

∴ ∴,

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴函数的最大值为

（2）①由已知得：

（i）若，则时，

∴在上为减函数，

∴在上恒成立；

（ii）若，则时，

∴在上为增函数，

∴，不能使在上恒成立；----6分

（iii）若，则时，，

当时，，∴在上为增函数，

此时，

∴不能使在上恒成立；

综上所述，的取值范围是

②由以上得：,取得：

令，

则，.

因此；即：.

又

故

 

综上所述：不等式成立

考点：1. 利用导数研究函数的单调性；2. 利用导数求闭区间上函数的最值．