Question

椭圆C₁:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C₂:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C₁分别交于C,D点,若S_△ACD=S_△PCD.

(1)求P点的坐标.
(2)能否使直线CD过椭圆C₁的右焦点,若能,求出此时双曲线C₂的离心率;若不能,请说明理由.

Answer 1

(1) P(2a,b)   (2) 能， e'=，理由见解析

(1)设P(x,y)在双曲线上,则有b²x²-a²y²=a²b²　①,
∵A(-a,0),B(a,0),
∴PA的中点为C(,),
点C在椭圆上,代入椭圆方程,化简得
b²x²+a²y²-2ab²x=3a²b²　②
①+②:2b²x²-2ab²x=4a²b²,
∴x²-ax-2a²=0,(x+a)(x-2a)=0.
∵P在双曲线右支上,∴x+a≠0,则x=2a.
代入①:a²y²=3a²b²,P在第一象限,
∴y>0,y=b,得P(2a,b).
(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).
代入椭圆方程:
b²x²+a²·(x²-2ax+a²)=a²b²,
∴4b²x²-6ab²x+2a²b²=0.
2x²-3ax+a²=0,(2x-a)(x-a)=0.
∵x<a,∴x=,
从而y=(-)=-b,
得D(,-b).同理可得C(,b).
C,D横坐标相同,知CD⊥x轴.
如CD过椭圆右焦点F₂(c,0),∴c=,即a=2c,
从而b²=a²-c²=a².设双曲线半焦距为c',
则c'²=a²+b²=a²,∴e'=.
于是直线CD可通过椭圆C₁的右焦点,此时双曲线C₂的离心率为e'=.