题目内容

将杨辉三角中的每一个数C_n^r都换成 $数学公式$ ，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出 $数学公式$ ，其中x=r+1，令 $数学公式$ ，则 $数学公式$ =________

$\text{[math]}$
分析：通过观察可得 $\text{[math]}$ =〔（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）〕+〔（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）〕=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．进而可得 $\text{[math]}$ ．
解答：第一个空通过观察可得．
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
=（1+ $\text{[math]}$ -1）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）-2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
=〔（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）〕+〔（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）〕
=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
答案： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．