Question

【题目】综合题
（1）已知函数f（x）=2x+ （x＞0），证明函数f（x）在（0， ）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）记函数g（x）=a|x|+2ax（a＞1） ①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；
②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设x1，x2是区间（0， ）上的任意两个实数，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（ ﹣ ）= ，

因为0＜x1＜x2＜ ，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜ ，故2x1x2﹣1＜0，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以函数f（x）在（0， ）上单调递减，

函数f（x）的单调递增区间为（ ，+∞）．

（2）解：①当a=4时，4|x|+24x=3，

（ⅰ）当x≥0时，4x+24x=3，即4x=1，所以x=0；

（ⅱ）当x＜0时，4﹣x+24x=3，

即2（4x）2﹣34x+1=0，

解得：4x=1或4x= ，

所以x=﹣ 或0（舍去）；

综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=﹣ ；

②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3ax，其中a＞1，

所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=3，

所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；

（ⅱ）当x∈[﹣1，0）时，g（x）=a﹣x+2ax，其中a＞1，

令t=ax，则t∈[ ，1），g（x）=2t+ =f（t），

（ⅰ）若1＜a≤ ，则 ≥ ，

据（1）可知，f（t）=2t+ 在[ ，1）上单调递增，

所以f（ ）≤f（t）＜f（1），且f（ ）=a+ ，f（1）=3，

此时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[a+ ，3）；

（ⅱ）若a＞ ，则 ＜ ，

据（1）可知，f（t）=2t+ 在[ ， ）上单调递减，在（ ，1）上单调递增，

所以f（t）min=f（ ）=2 ，又f（ ）=a+ ，f（1）=3，

当f（ ）≥f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2 ，a+ ]，

当f（ ）＜f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2 ，3）；

综上所述，当1＜a≤ 时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+ ，+∞；

当a＞ 时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[2 ，+∞）．

【解析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）①将a=4带入g（x），通过讨论x的正负，去掉绝对值号，解方程即可；②通过讨论x的范围，求出g（x）的单调性，从而求出g（x）的值域即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对函数的单调性的理解，了解注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种．