Question

在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为6，则△ABC的面积的最大值是

 

．

Answer 1

分析：设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．

解答：解：设AB=AC=2x，AC=x．
设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ=

(2x)2+x2-36

2×2x•x

=

5x2-36

4x2

，
∴sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 5x2-36 4x2 )2

=

16x4-25x4+360x2-362 (4x2)2

=

-9x4+360x2-362

4x2

=

-9(x4-40x2)-362

4x2

=

-9(x2-20)2+9×202-362

4x2

=

-9(x2-20)2+602-362

4x2

，
 根据公式三角形面积S=

1

2

absinθ=

1

2

×2x•2x•

-9(x2-20)2+602-362

4x2

=

1

2

-9(x2-20)2+602-362

，
∴当 x²=20时，三角形面积有最大值

1

2

602-362

=

1

2

96×24

=

1

2

×48=24．
故答案为：24

点评：本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．