Question

20．一边长为2的正三角形ABC的两个顶点A、B在平面α上，另一个顶点C在平面α上的射影为C'，则三棱锥A-BC'C的体积的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设AB的中点为D，连接CD，C′D，设平面ABC与平面α所成的角为θ，求出S_△CDC′，证明AB⊥平面CDC′，则V_C-ABC′=$\frac{1}{3}{S}_{△CDC′}•AB$=$\frac{1}{2}$sin2θ，从而得出体积的最大值．

解答 解：设AB的中点为D，连接CD，C′D，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB⊥CD，CD=$\sqrt{3}$．
∵CC′⊥α，AB?α，
∴CC′⊥AB，又CD∩CC′=C，
∴AB⊥平面CDC′，
∴∠CDC′为平面ABC与平面α所成的角，
设∠CDC′=θ，则CC′=CDsinθ=$\sqrt{3}$sinθ，C′D=$\sqrt{3}$cosθ，
∴S_△CDC′=$\frac{1}{2}CD•C′D$=$\frac{3}{2}$sinθcosθ=$\frac{3}{4}$sin2θ，
∴V_C-ABC′=$\frac{1}{3}{S}_{△CDC′}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}sin2θ×2$=$\frac{1}{2}$sin2θ，
∴当2θ=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{4}$时，V取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了项目垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．