Question

【题目】已知函数，集合.

（1）当时，解不等式；

（2）若，且，求实数的取值范围；

（3）当时，若函数的定义域为，求函数的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，的值域为；

当时，的值域为；当时，的值域为．

【解析】分析：（1）先根据一元二次方程解得ex＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域.

详解：（1）当a＝－3时，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，

所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3) (ex＋1)＞0，

所以ex＞3，故x＞ln3，

所以不等式的解集为(ln3，+∞).

（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.

因为A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，

即 f(x)≥2在0≤x≤1上有解，

即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，

所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.

由0≤x≤1得1≤ex≤e，

所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，

所以a≥3e－e2.

（3）设t＝ex，由（2）知1≤t≤e，

记g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，则，

t	(1，)		(，＋∞)
g′(t)	－	0	＋
g(t)	↘	极小值	↗

①当≥e时，即a≥e2时，

g(t)在1≤t≤e上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．

所以f(x)的值域为.

②当1＜＜e时，即1＜a＜e2时，

g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．

1°若a，即e＜a＜e2时，g(t)max= g(1)= a；

所以f(x)的值域为；

2°若a，即1＜a≤e时，g(t)max= g(e) =，

所以f(x)的值域为．

综上所述，当1＜a≤e时，f(x)的值域为；

当e＜a＜e2时，f(x)的值域为；

当a≥e2时，f(x)的值域为．