题目内容

已知a∈R，求函数f（x）=（2-3a）x²-2x+a在区间[0，1]上的最小值．

解：Ⅰ、当2-3a=0，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在[0，1]上递减
∴ $\text{[math]}$ （2分）
当2-3a≠0，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）为二次函数　　（3分）
Ⅱ、若2-3a＞0，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）的开口向上，其对称轴为 $\text{[math]}$ （4分）
①当2-3a＞1时，即 $\text{[math]}$ 时，此时 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （6分）
②当 0＜2-3a≤1，即 $\text{[math]}$ 时，此时 $\text{[math]}$ ，f_min（x）=f（1）=-2a （8分）
Ⅲ、若2-3a＜0，即a $\text{[math]}$ 时，f（x）的开口向下，其对称轴为 $\text{[math]}$ （9分）
f_min（x）=f（1）=-2a　　　　　　　　　　　　　（10分）
综上可得： $\text{[math]}$ 　　（12分）
分析：先对二次项系数进行分类讨论，再考虑二次函数的对称轴与区间的位置关系，从而确定函数f（x）=（2-3a）x²-2x+a在区间[0，1]上的最小值．
点评：本题重点考查函数在指定区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是掌握二次函数求最值的方法．